数分，很神奇吧！

Q：

  1. f(x)在[a,b]上可导能否推出f’(x)在(a+ε,b-ε)上连续，其中ε∈(0,b-a)？
  2. 导数极限定理的证明？
  3. 达布定理（导数介值定理）的理解与证明？

A：

  1. 函数可导不能推出导数的连续：

    考虑函数f(x)={xsin⁡(1x)x≠00x=0f( x) =\begin{cases}x\sin\left(\frac{1}{x}\right) & x\neq 0\\0 & x=0\end{cases}

    其导数为f′(x)={2xsin⁡(1x)−cos⁡(1x)x≠00x=0f'( x) =\begin{cases}2x\sin\left(\frac{1}{x}\right) -\cos\left(\frac{1}{x}\right) & x\neq 0\\0 & x=0\end{cases}

    计算lim⁡x→0(2xsin⁡(1x)−cos⁡(1x))\lim_{x\to0}\limits(2x\sin(\frac{1}{x})-\cos(\frac{1}{x}))，可知极限不存在。

    wolfram，伟大！

    连续函数的导数一定连续吗

    此处给出的反例说明，函数可导不能推出导数的连续，因为导数到某一点的极限可能不存在。

  2. 导数极限定理：

    若f(x)在x0x_0的邻域内连续，在x0x_0的去心邻域内可导，且导函数在x0x_0处的极限存在，则f′(x0)=lim⁡x→x0f′(x)f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\limits f'(x).

    证明：

    由Lagrange中值定理知 ∃ξ∈(x,x0)\exists \xi \in ( x,x_0)使得
    （左导数） lim⁡x→x0−f(x)−f(x0)x−x0=lim⁡x→x0−f′(ξ)\lim _{x\rightarrow x_0 -}\frac{f( x) -f( x_0)}{x-x_0} =\lim _{x\rightarrow x_0 -} f'( \xi )
    设 lim⁡x→x0−f′(x)=A\lim _{x\rightarrow x_{0} -} f'( x) =A（既然它存在）
    则有∀ϵ>0, ∃δ>0\forall \epsilon >0,\ \exists \delta >0，当0<x0−x<δ0\lt x_{0} -x\lt \delta，有 ∣f′(x)−A∣<ϵ|f'( x) -A|< \epsilon
    可以找到一个 ξ\xi 使0<x0−ξ<δ0< x_{0} -\xi < \delta，从而 ∣f′(δ)−A∣<ϵ|f'( \delta ) -A|< \epsilon
    故lim⁡x→x0−f′(ξ)=lim⁡x→x0−f(x)−f(x0)x−x0=A\lim _{x\rightarrow x_{0} -} f'( \xi ) =\lim _{x\rightarrow x_{0} -}\frac{f( x) -f( x_{0})}{x-x_{0}} =A
    同理可证右导数等于右极限
    由于 x0x_{0}​ 可导，左右导数相等，故f′(x)=lim⁡x→x0f′(x)f'( x) =\lim _{x\rightarrow x_{0}} f'( x)得证。

    导数极限定理

    只要导数到某一点的极限存在，它就在此点连续。

  3. 达布定理（导数的介值定理）：

    f(x)在[a,b]区间可导，则其导函数f’(x)在(a,b)上有介值性。

    证明：

    不妨设f+′(a)<f−′(b)\displaystyle f_{+}^{'}( a) < f_{-}^{'}( b)
    即证 ∀μ∈(f+′(a),f−′(b))\displaystyle \forall \mu \in \left( f_{+}^{'}( a) ,f_{-}^{'}( b)\right) ， ∃ξ\displaystyle \exists \xi 使 f′(ξ)=μ\displaystyle f'( \xi ) =\mu。
    由题可知 f+′(a)−μ<0<f−′(b)−μ\displaystyle f_{+}^{'}( a) -\mu < 0< f_{-}^{'}( b) -\mu ，于是设原函数 F(x)=f(x)−μx\displaystyle F( x) =f( x) -\mu x，有 F′(a)<0<F′(b)\displaystyle F'( a) < 0< F'( b) 。

    Darboux

    看图：原函数先下降后上升，所以接下来我们用Fermat定理证明最小值在(a,b)上，再用极值推原函数的导数为0即可。

    在点x=a的某个右邻域内，F(x)−F(a)x−a<0\displaystyle \frac{F( x) -F( a)}{x-a} < 0，即F(x)<F(a)F(x)<F(a)

    在点x=b的某个左邻域内， F(x)−F(b)x−b<0\displaystyle \frac{F( x) -F(b)}{x-b} < 0 ，即F(x)<F(b)F(x)<F(b)

    故F(a)，F(b)均非最小值，最小值在(a,b)内取到，为极值点，

    由Fermat定理得∃ξ\exists\xi 使得F′(ξ)=0F'(\xi)=0 ，则有f′(ξ)=μ\displaystyle f'( \xi ) =\mu 。

    我们获得的宝贵经验是，介值性⇏连续性，但是要推出介值性往往需要借助连续性（连续性⇒介值性）。在这里的思路是将其放大，到一个微观的层面，就可以利用Fermat定理等等“沟通导数和函数之间的桥梁”来演绎其中的关系。

    另外，将导数和单调性联系起来思考，可以更容易地获得数学直观。